第六百三十五章

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对于这个神经网络的训练过程，就是要确定这11935个参数。最新地址发送任意邮件到 ltx Sba@gmail.ㄈòМ 获取

训练的目标可以粗略概括为：对于每一个训练样本，对应的输出无限接近于1，而其它输出无限接近于0。

根据michael nielsen给出的实验结果，以上述网络结构为基础，在未经过调优的况下，可以轻松达到95%的正确识别率。而核心代码只有74行！

在采用了度学习的思路和卷积网络(convolutional networks)之后，最终达到了99.67%的正确识别率。而针对mnist数据集达到的历史最佳成绩是99.79%的识别率，是由li wan， matthew zeiler， sixin zhang， yann lecun，和 rob fergus在2013年做出的。

考虑到这个数据集里还有一些类似如下这样难以辨认的数字，这个结果是相当惊的！它已经超越了真正眼的识别了。

在这个过程中一步步调整权重和偏置参数的值，就必须引梯度下降算法(gradient descent)。

在训练的过程中，我们的神经网络需要有一个实际可行的学习算法，来逐步调整参数。

而最终的目的，是让网络的实际输出与期望输出能够尽量接近。我们需要找到一个表达式来对这种接近程度进行表征。这个表达式被称为代价函数(cost function)

x表示一个训练样本，即网络的输。其实一个x代表784个输。

y(x)表示当输为x的时候，期望的输出值；而a表示当输为x的时候，实际的输出值。y(x)和a都分别代表10个输出值（以数学上的向量来表示）。而它们的差的平方，就表征了实际输出值和期望输出值的接近程度。越接近，这个差值就越小。

n是训练样本的数量。假设有5万个训练样本，那么n就是5万。因为是多次训练，所以要除以n对所有训练样本求平均值。

c(w，b)的表示法，是把cost function看成是网络中所有权重w和偏置b的函数。为什么这样看呢？进行训练的时候，输x是固定的（训练样本），不会变。在认为输不变的况下，这个式子就可以看成是w和b的函数。那么，式子右边的w和b在哪呢？实际上，在a里面。y(x)也是固定值，但a是w和b的函数。

总结来说，c(w，b)表征了网络的实际输出值和期望输出值的接近程度。越接近，c(w，b)的值就越小。因此，学习的过程就是想办法降低c(w，b)的过程，而不管c(w，b)的表达形式如何，它是w和b的函数，这就变成了一个求函数最小值的最优化问题。

由于c(w，b)的形式比较复杂，参数也非常多，所以直接进行数学上的求解，非常困难。

为了利用计算机算法解决这一问题，计算机科学家们提出了梯度下降算法(gradient descent)。

这个算法本质上是在多维空间中沿着各个维度的切线贡献的方向，每次向下迈出微小的一步，从而最终抵达最小值。

由于多维空间在视觉上无法体现，所以们通常会退到三维空间进行类比。当c(w，b)只有两个参数的时候，它的函数图像可以在三维空间里呈现。

就好像一个小球在山谷的斜坡上向下不停地滚动，最终就有可能到达谷底。这个理解重新推广到多维空间内也基本成立。

而由于训练样本的数量很大（上万，几十万，甚至更多），直接根据前面的c(w，b)进行计算，计算量会很大，导致学习过程很慢。

、于是就出现了随机梯度下降(stochastic gradient descent)算法，是对于梯度下降的一个近似。

在这个算法中，每次学习不再针对所有的训练集，而是从训练集中随机选择一部分来计算c(w，b)，下一次学习再从剩下的训练集中随机选择一部分来计算，直到把整个训练集用光。然后再不断重复这一过程。

度神经网络（具有多个hidden layer）比浅层神经网络有更多结构上的优势，它有能力从多个层次上进行抽象。

从上个世纪八九十年代开始，研究员们不断尝试将随机梯度下降算法应用于度神经网络的训练，但却碰到了梯度消失(vanishing gradient)或梯度发(exploding gradient)的问题，导致学习过程异常缓慢，度神经网络基本不可用。

然而，从2006年开始，们开始使用一些新的技术来训练度网络，不断取得了突。这些技术包括但不